自然科学実験(物理学) オシロスコープ

1年生の自然科学実験のテーマの一つにオシロスコープがあります.応用課題として,抵抗とコンデンサで作るローパスフィルタの周波数特性を計測する実験があります.1年生では電気回路の講義がなく,交流回路の解析はまだ習っていません.1年生の数学では非同次微分方程式の解き方を学ぶので,タイミングによっては数学的な説明ができます.それすらできないときには,コンデンサの性質を定性的に説明することになります.

rc-lowpass

図の回路において,流れる電流をi(t)とおくと,抵抗Rの部分の電圧はRi(t)です.コンデンサCの電圧はv_o(t)です.また,i(t)=\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt}です(この式は,Q=CVQ=\displaystyle\int i(t)dtの関係で誘導しますが,高校の範囲では一定電流を\Delta t流すと電荷がQになることまでで,積分では習っていないと思います).

v_i(t)=Ri(t) + v_o(t)より,微分方程式v_i(t)=RC\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt} + v_o(t)を得ます.

1年生の数学の範囲で解く

1年生の数学で,非同次微分方程式の解き方を学んでいれば,v_i(t)=0のときの基本解は時間とともに減衰して零になるので,v_i(t)=\sin \omega tのときの特解を求めればよいことが分ります.

特解は,この回路は線形系ですから,入力の正弦波と同じ周波数で振動するすけれども,振幅と位相が異なるだけになります.そこで解をa\sin(\omega t + \phi)として,a\phiを求めることにします.

微分方程式に代入すると,

\sin\omega t=RCa\omega\cos(\omega t + \phi) + a\sin(\omega t + \phi)

になります.右辺に三角関数の合成を適用すると,

\sin\omega t = \sqrt{a^2 + (RCa\omega)^2}\sin(\omega t + \phi + \psi)

になります.両辺の振幅を比較して

a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}

と,位相を比較して\phi = -\psiから

\phi = -\tan^{-1}RC\omega

を得ます.

交流回路の解析(フェーザ法)で解く

物理情報工学科では2年生春学期の電気回路同演習でフェーザ法を学びます.フェーザ法では,図の回路は

\dot{V_i} = R\dot{I} + \dot{V_o}

と表すことができ,

\dot{V_o} =\displaystyle\frac{1}{j\omega C}\dot{I}

を用いて\dot{I}を消去すると,

\dot{V_i} = (j\omega RC + 1)\dot{V_o}

を得ます.ゲイン特性は

\displaystyle\left|\frac{\dot{V_o}}{\dot{V_i}}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}}

になります.

位相特性は

-\tan^{-1}RC\omega

になります.

ラプラス変換で解く

物理情報工学科では2年生秋学期の物理情報数学Cでラプラス変換を学びます.ラプラス変換を学んでいれば,伝達関数に形式的にs=j\omegaとしてゲイン特性と位相特性を求めることができます.

微分方程式をラプラス変換すると

V_o(s) = RCsV_i(s) + V_i(s)

を得ます.伝達関数

\displaystyle\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{RCs + 1}

を得ます.s=j\omegaとすれば,上記と同じゲイン特性と位相特性になります.

補足

実験を早く終わった学生には,入力波形を矩形波にして積分されている様子を観察することや,抵抗とコンデンサを入れ替えてハイパスフィルタにして,定性的にですが,ハイパスフィルタの特性や入力波(三角波)が微分されている様子を観察してもらっています.

授業開始

4月6日(土)から授業開始でした.私が担当する授業では,今日4月8日の2つの授業が最初でした.一つは大学院の科目の生体制御です.生体制御では,M. C. K. Khoo, Physiological Control Systems, IEEE Pressを基に講義しています.もう一つは学部の科目の物理情報数学Bです.内容としては線形代数ですが,数学と工学の橋渡しをするところがあり,一冊で講義内容をカバーできる本がありません.随時,内容に応じて参考になる書籍を講義中に紹介します.

_MG_3878

2次遅れ系の標準形の共振周波数

2次遅れ系の標準形
\displaystyle\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

の共振周波数は,バネ・マス・ダッシュポットで構成される機械系の2次遅れ系の共振周波数と同様に求めることができます.LCR直列共振回路では,伝達関数の分子にsがありますが,機械系にはsがなく分子は定数です.

形式的にs=j\omegaとして
\displaystyle g(\omega)=\left|\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2-\omega^2+j2\zeta\omega_n\omega}\right|

になります.
\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=0

を解くと
\displaystyle\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}

になります.

電気系の共振周波数

図のLCR直列共振回路では,電圧v(t)を加えるときに流れる電流i(t)は,
\displaystyle L\frac{i(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt=v(t)

です.ラプラス変換して伝達関数G(s)=I(s)/V(s)を求めると
\displaystyle G(s)=\frac{s}{Ls^2+Rs+1/C}

になります.

lcr

形式的にs=j\omegaとおき,|G(j\omega)|=g(\omega)とおくと
\displaystyle g(\omega)=\omega\left(\left(\frac{1}{c}-\omega^2L\right)^2+\omega^2R^2\right)^{-1/2}

になります.

\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=0として,極大値を求めると
\displaystyle\omega_r=\frac{1}{\sqrt{LC}}になります(共振周波数は\displaystyle f_r=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}).つまり,抵抗に依存しません.

計算で求めると煩雑ですが,LCR直列共振回路では複素平面でインピーダンスを表せば,Lのインピーダンスj\omega LとCのインピーダンス\displaystyle\frac{1}{j\omega C}の大きさが等しいときが共振の条件ですから容易に共振周波数を求められます.

一方,電圧源を短絡して電流の初期値のみを与えるとき,不足減衰であればその振動の角周波数は伝達関数の極の虚部から
\displaystyle\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}

になります.

電気系では,「駆動力」である電圧と,「流れ」である電流に興味があります.力学系では「流れ」である速度ではなくその積分である変位で共振周波数を求めていることに注意が必要です.

機械系の共振周波数

外部から力を加えて強制的に振動させると,外部から加える力の周波数が共振周波数のときに振幅が最大になります.

mechanical

バネ・マス・ダッシュポットで構成される機械系の2次遅れ系に外力f(t)を加えるときの変位x(t)に関する微分方程式は
\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}+d\frac{dx}{dt}+kx=f(t)

になります.

ラプラス変換して伝達関数G(s)=X(s)/F(s)を求めると
\displaystyle \frac{1}{ms^2+ds+k}

になります.共振周波数はゲインが最大になる周波数ですから,形式的にs=j\omegaとして,
\displaystyle |G(j\omega)|=\left|\frac{1}{-m\omega^2+j\omega ds + k}\right|

になります.これをg(\omega)とおくと
g(\omega)=((k-m\omega^2)^2+d^2\omega^2)^{-1/2}

になります.

これが極大になる点を探せばよいので
\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=-\frac{1}{2}((k-m\omega^2)^2+d^2\omega^2)^{-3/2}(2(k-m\omega^2)(-2m\omega)+2d^2\omega)=0

となり,これを解くと
\displaystyle\omega_r=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{d^2}{2m^2}}

になります(共振周波数f_r=\omega_r/2\pi).

一方,零ではない初期値のみを与えて外力を加えない場合,不足減衰のときの振動の周波数(減衰固有周波数)は,伝達関数の極の虚部から
\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{d^2}{4m^2}}

になります.

機械系では,「駆動力」は外部から加えられる力で,「流れ」に対応するものは速度になります.しかし,興味があるのは変位ですから,「流れ」に対応する物理量を時間に関して積分した物理量になります.

非減衰固有周波数と減衰固有周波数

2次遅れ系の伝達関数の標準形は
\displaystyle\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2}

です.とくに断ることなく固有周波数というときには\omega_n/2\piのことを指します.減衰比\zetaが零のときの固有周波数を明示的に区別して呼ぶときには,非減衰固有周波数あるいは不減衰固有周波数と呼びます.英語ではundamped natural frequecyです.また\zetaが零ではないときの自由振動の周波数は,減衰固有周波数と呼ばれます.減衰固有周波数は,伝達関数の極から\displaystyle\frac{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}{2\pi}になります.

講義開始

この年末年始は曜日配置や工事の関係からか,12/28-1/6が休みでした.今日から講義開始です.クォータ制を導入していると,期末試験の問題提出の期限の時点では,偶数クォータの講義では全講義回数の半分強が終わった程度ですから,試験問題を作り難いです.講義計画どおりに進んだとしても,講義する前に作るのと講義した後に作るのでは,細かな点に差がでるように思います.それよりも,突発的な理由で計画通りに進まなかったときが怖いです.

単極性矩形波の周波数帯域

我々の研究室では,電気刺激にパルス幅0.5 msの単極性矩形波を用いています.これの周波数帯域は次のように計算できます.

パルス幅がTで振幅が1/Tの矩形波y(t)のラプラス変換Y(s)は,
\frac{1}{T}\left(\frac{1}{s}-\frac{e^{-Ts}}{s}\right)
になります.

形式的にs=j\omegaを代入して絶対値を求めると,
|Y(j\omega)|=|\frac{\sin^2(T\omega/2)}{T\omega/2}|
になります.つまりsinc関数の絶対値です.

この関数はTが0.5 msのときに,

Graph1

になります.-3 dBの帯域で886 Hz位になります.

筋音の周波数帯域は,加速度では100 Hz以下(変位ではさらに低い)ですから,0.5 msの単極性矩形波は十分フラットな周波数特性を有しています(100 Hzのゲインは0.996).

工学的な説明は上記のとおりですが,電気生理学的には活動電位を1つ発生させればよく,活動電位の持続時間は数ミリ秒ですから,上記より帯域は狭くなるでしょうが,機械的性質を計測する上では問題にはならないと考えられます.活動電位で筋のモデルの力発生要素(f_1(t))がインパルス的に収縮力を発揮することを仮定しています.

fig3

Windkesselモデル

物理情報数学Bで,状態微分方程式の例として図の回路を取り上げました.

この回路図は,血液循環のモデルであるWindkesselモデルとして知られているものです.Windkesselモデルには,素子数によって2要素,3要素,4要素のモデルがあります.2要素はCとRの並列接続で簡単ですが,近似としては粗くなります.3要素が一番よく使われていると思います.4要素は,3要素のモデルでは近似しきれない低周波数での特性も良好に近似できます.

この回路から,状態微分方程式をたてる演習は,3年生のバイオシステムで心循環系の話題のときにももう一度行っています.

教室変更

毎年,2年生のデジタル基礎の講義を,1回だけはPCが設置されている教室で実施します.PCを使って実際にIP addressを確認したり,arp,netstat,tracertやnslookupを使ってインターネットの通信の仕組みを少しでも垣間見てもらうためです.日吉は第5校舎が3.11の震災で取り壊され,教室が減ったためか,教室の空きが少なく,一昨年までの教室を利用できず,別の教室になりました.教室が変われば,PCの設定状況も変わるので,昨日教材作成のためにその教室でPCを使ってみました.設定値が変わるだけで本質的な変更はなかったので助かりました.一昨年には,OSが変わり,IPv6の設定も追加されていて,tracertで追えない部分も増えていて大幅な教材の見直しが必要でした.定員が今年の履修者数に等しいの教室なので,履修者が今年より増えると対応できなくなります.

学科の研究室のネットワークの管理は,学生が行っているところが多いですから,上記のような内容を扱っておくことも必要であろうと考えています.ITCあるいは学科の管理者と会話が成り立たたないということは減ったのではないかと思います.