自然科学実験(物理学) オシロスコープ

1年生の自然科学実験のテーマの一つにオシロスコープがあります.応用課題として,抵抗とコンデンサで作るローパスフィルタの周波数特性を計測する実験があります.1年生では電気回路の講義がなく,交流回路の解析はまだ習っていません.1年生の数学では非同次微分方程式の解き方を学ぶので,タイミングによっては数学的な説明ができます.それすらできないときには,コンデンサの性質を定性的に説明することになります.

rc-lowpass

図の回路において,流れる電流をi(t)とおくと,抵抗Rの部分の電圧はRi(t)です.コンデンサCの電圧はv_o(t)です.また,i(t)=\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt}です(この式は,Q=CVQ=\displaystyle\int i(t)dtの関係で誘導しますが,高校の範囲では一定電流を\Delta t流すと電荷がQになることまでで,積分では習っていないと思います).

v_i(t)=Ri(t) + v_o(t)より,微分方程式v_i(t)=RC\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt} + v_o(t)を得ます.

1年生の数学の範囲で解く

1年生の数学で,非同次微分方程式の解き方を学んでいれば,v_i(t)=0のときの基本解は時間とともに減衰して零になるので,v_i(t)=\sin \omega tのときの特解を求めればよいことが分ります.

特解は,この回路は線形系ですから,入力の正弦波と同じ周波数で振動するすけれども,振幅と位相が異なるだけになります.そこで解をa\sin(\omega t + \phi)として,a\phiを求めることにします.

微分方程式に代入すると,

\sin\omega t=RCa\omega\cos(\omega t + \phi) + a\sin(\omega t + \phi)

になります.右辺に三角関数の合成を適用すると,

\sin\omega t = \sqrt{a^2 + (RCa\omega)^2}\sin(\omega t + \phi + \psi)

になります.両辺の振幅を比較して

a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}

と,位相を比較して\phi = -\psiから

\phi = -\tan^{-1}RC\omega

を得ます.

交流回路の解析(フェーザ法)で解く

物理情報工学科では2年生春学期の電気回路同演習でフェーザ法を学びます.フェーザ法では,図の回路は

\dot{V_i} = R\dot{I} + \dot{V_o}

と表すことができ,

\dot{V_o} =\displaystyle\frac{1}{j\omega C}\dot{I}

を用いて\dot{I}を消去すると,

\dot{V_i} = (j\omega RC + 1)\dot{V_o}

を得ます.ゲイン特性は

\displaystyle\left|\frac{\dot{V_o}}{\dot{V_i}}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}}

になります.

位相特性は

-\tan^{-1}RC\omega

になります.

ラプラス変換で解く

物理情報工学科では2年生秋学期の物理情報数学Cでラプラス変換を学びます.ラプラス変換を学んでいれば,伝達関数に形式的にs=j\omegaとしてゲイン特性と位相特性を求めることができます.

微分方程式をラプラス変換すると

V_o(s) = RCsV_i(s) + V_i(s)

を得ます.伝達関数

\displaystyle\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{RCs + 1}

を得ます.s=j\omegaとすれば,上記と同じゲイン特性と位相特性になります.

補足

実験を早く終わった学生には,入力波形を矩形波にして積分されている様子を観察することや,抵抗とコンデンサを入れ替えてハイパスフィルタにして,定性的にですが,ハイパスフィルタの特性や入力波(三角波)が微分されている様子を観察してもらっています.