1年生の自然科学実験のテーマの一つにオシロスコープがあります.応用課題として,抵抗とコンデンサで作るローパスフィルタの周波数特性を計測する実験があります.1年生では電気回路の講義がなく,交流回路の解析はまだ習っていません.1年生の数学では非同次微分方程式の解き方を学ぶので,タイミングによっては数学的な説明ができます.それすらできないときには,コンデンサの性質を定性的に説明することになります.
図の回路において,流れる電流をとおくと,抵抗の部分の電圧はです.コンデンサの電圧はです.また,です(この式は,との関係で誘導しますが,高校の範囲では一定電流を流すと電荷がになることまでで,積分では習っていないと思います).
より,微分方程式を得ます.
1年生の数学の範囲で解く
1年生の数学で,非同次微分方程式の解き方を学んでいれば,のときの基本解は時間とともに減衰して零になるので,のときの特解を求めればよいことが分ります.
特解は,この回路は線形系ですから,入力の正弦波と同じ周波数で振動するすけれども,振幅と位相が異なるだけになります.そこで解をとして,とを求めることにします.
微分方程式に代入すると,
になります.右辺に三角関数の合成を適用すると,
になります.両辺の振幅を比較して
と,位相を比較してから
を得ます.
交流回路の解析(フェーザ法)で解く
物理情報工学科では2年生春学期の電気回路同演習でフェーザ法を学びます.フェーザ法では,図の回路は
と表すことができ,
を用いてを消去すると,
を得ます.ゲイン特性は
になります.
位相特性は
になります.
ラプラス変換で解く
物理情報工学科では2年生秋学期の物理情報数学Cでラプラス変換を学びます.ラプラス変換を学んでいれば,伝達関数に形式的にとしてゲイン特性と位相特性を求めることができます.
微分方程式をラプラス変換すると
を得ます.伝達関数
を得ます.とすれば,上記と同じゲイン特性と位相特性になります.
補足
実験を早く終わった学生には,入力波形を矩形波にして積分されている様子を観察することや,抵抗とコンデンサを入れ替えてハイパスフィルタにして,定性的にですが,ハイパスフィルタの特性や入力波(三角波)が微分されている様子を観察してもらっています.