1年生の自然科学実験のテーマの一つにオシロスコープがあります．応用課題として，抵抗とコンデンサで作るローパスフィルタの周波数特性を計測する実験があります．1年生では電気回路の講義がなく，交流回路の解析はまだ習っていません．1年生の数学では非同次微分方程式の解き方を学ぶので，タイミングによっては数学的な説明ができます．それすらできないときには，コンデンサの性質を定性的に説明することになります．
図の回路において，流れる電流を[latex]i(t)[/latex]とおくと，抵抗[latex]R[/latex]の部分の電圧は[latex]Ri(t)[/latex]です．コンデンサ[latex]C[/latex]の電圧は[latex]v_o(t)[/latex]です．また，[latex]i(t)=\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt}[/latex]です（この式は，[latex]Q=CV[/latex]と[latex]Q=\displaystyle\int i(t)dt[/latex]の関係で誘導しますが，高校の範囲では一定電流を[latex]\Delta t[/latex]流すと電荷が[latex]Q[/latex]になることまでで，積分では習っていないと思います）．
[latex]v_i(t)=Ri(t) + v_o(t)[/latex]より，微分方程式[latex]v_i(t)=RC\displaystyle\frac{dv_o(t)}{dt} + v_o(t)[/latex]を得ます．
1年生の数学の範囲で解く
1年生の数学で，非同次微分方程式の解き方を学んでいれば，[latex]v_i(t)=0[/latex]のときの基本解は時間とともに減衰して零になるので，[latex]v_i(t)=\sin \omega t[/latex]のときの特解を求めればよいことが分ります．
特解は，この回路は線形系ですから，入力の正弦波と同じ周波数で振動するすけれども，振幅と位相が異なるだけになります．そこで解を[latex]a\sin(\omega t + \phi)[/latex]として，[latex]a[/latex]と[latex]\phi[/latex]を求めることにします．
微分方程式に代入すると，
[latex]\sin\omega t=RCa\omega\cos(\omega t + \phi) + a\sin(\omega t + \phi)[/latex]
になります．右辺に三角関数の合成を適用すると，
[latex]\sin\omega t = \sqrt{a^2 + (RCa\omega)^2}\sin(\omega t + \phi + \psi)[/latex]
になります．両辺の振幅を比較して
[latex]a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}[/latex]
と，位相を比較して[latex]\phi = -\psi[/latex]から
[latex]\phi = -\tan^{-1}RC\omega[/latex]
を得ます．
交流回路の解析（フェーザ法）で解く
物理情報工学科では2年生春学期の電気回路同演習でフェーザ法を学びます．フェーザ法では，図の回路は
[latex]\dot{V_i} = R\dot{I} + \dot{V_o}[/latex]
と表すことができ，
[latex]\dot{V_o} =\displaystyle\frac{1}{j\omega C}\dot{I} [/latex]
を用いて[latex]\dot{I}[/latex]を消去すると，
[latex]\dot{V_i} = (j\omega RC + 1)\dot{V_o}[/latex]
を得ます．ゲイン特性は
[latex]\displaystyle\left|\frac{\dot{V_o}}{\dot{V_i}}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}}[/latex]
になります．
位相特性は
[latex]-\tan^{-1}RC\omega[/latex]
になります．
ラプラス変換で解く
物理情報工学科では2年生秋学期の物理情報数学Cでラプラス変換を学びます．ラプラス変換を学んでいれば，伝達関数に形式的に[latex]s=j\omega[/latex]としてゲイン特性と位相特性を求めることができます．
微分方程式をラプラス変換すると
[latex]V_o(s) = RCsV_i(s) + V_i(s)[/latex]
を得ます．伝達関数
[latex]\displaystyle\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{RCs + 1}[/latex]
を得ます．[latex]s=j\omega[/latex]とすれば，上記と同じゲイン特性と位相特性になります．
補足
実験を早く終わった学生には，入力波形を矩形波にして積分されている様子を観察することや，抵抗とコンデンサを入れ替えてハイパスフィルタにして，定性的にですが，ハイパスフィルタの特性や入力波（三角波）が微分されている様子を観察してもらっています．
