特性方程式と重根

今日の講義で微分方程式の特性根と一般解の話をしたら,重根をもつ場合について,高校で習う隣接3項漸化式で重根を持つ場合の解き方と同じ考え方で微分方程式も説明できることが分かったと講義の後で教えてくれました.以下にまとめてみます.

隣接3項漸化式で特性方程式が重根をもつ場合

y(k+2)=2ay(k+1)-a^2y(k)
を変形して,差が等比数列の形になるようにする.

y(k+2)-ay(k+1)=a(y(k+1)-ay(k))

右辺は
a^{k+1}(y(1)-ay(0))
となる.

両辺をa^{k+1}で割る.

  \displaystyle\frac{y(k+2)}{a^{k+1}}-\frac{y(k+1)}{a^k}=y(1)-ay(0)
となり,\displaystyle\frac{y(k+1)}{a^k}は,初項y(0)/a^{-1},公差y(1)-ay(0)の等差数列になる.

したがって
  \displaystyle\frac{y(k)}{a^{k-1}}=\frac{y(0)}{a^{-1}} + (k-1)(y(1)-ay(0))
となる.

両辺をa^{k-1}倍して
  y(k)=a^ky(0)+a^{k-1}(k-1)(y(1)-ay(0))
になる.

隣接3項漸化式では,y(k)を求めることになるが,線形差分方程式とみた場合には,基底にa^kka^kを用いればよいことが分かる.

微分方程式

微分方程式の特性根が重根の場合,
  \displaystyle\frac{d^2y(t)}{dt^2} -2a\frac{dy(t)}{dt} + a^2y(t)=0
を変形して
  \displaystyle\frac{d^2y(t)}{dt^2} - a\frac{dy(t)}{dt} = a\left(\frac{dy(t)}{dt} - ay(t)\right)
となる.
これは,
  \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{dy(t)}{dt}-ay(t)\right)= a\left(\frac{dy(t)}{dt} - ay(t)\right)
なので,
  \displaystyle\frac{dy(t)}{dt}-ay(t) = e^{at}\left(\frac{dy(0)}{dt} - ay(0)\right)
になる.
e^{at}で両辺を割ると,
  e^{-at}\displaystyle\frac{dy(t)}{dt}-ae^{-at}y(t) = \frac{dy(0)}{dt} -ay(0)
なので,左辺を次のように書き換えて
  \displaystyle\frac{d}{dt}\left(e^{at}y(t)\right) = \frac{dy(0)}{dt} -ay(0)
になる.
積分して,
  e^{-at}y(t) = \left(\displaystyle\frac{dy(0)}{dt} -ay(0)\right)t + c
になり(cは積分定数),
  y(t)=\left(\displaystyle\frac{dy(0)}{dt} -ay(0)\right)te^{at} + ce^{at}
になる,
つまり,基底はe^{at}te^{at}になる.

実際問題として,重根のときの基底を導出する時間はないでしょうから,重根のときの基底を覚えておくとよいでしょう.また,講義で説明した定数変化法を理解しておくとよいと思います.

線形と非線形

月曜日は2時限に物理情報数学B,4時限に生体制御を担当しています.

物理情報数学Bは線形代数です.先週提出の宿題,ランチェスターのモデルの問題は,講義中に例を板書した,α=0.1,β=0.1では,さすがにつまらないです.ノートを右から左に写すだけになってしまいます.自分でαとβの値を設定して,つまり問題を自ら設定できないと評価されません.ランチェスターのモデルでは固有値が簡単な値になるようにαとβを定めることは簡単なことです.

生体制御は,非線形振動を扱いました.BVPモデル,好中球の密度の振動,心循環系の圧反射のモデル,サーカディアンリズムです.私が大学院生のとき,非線形振動だけで1つの講義があり,van der Polの式を数値的に解いて,リミットサイクルを描き,また位相面にメッシュを切って各格子点の速度ベクトルを描くことが課題だったように思います.当時のPCは,8086 8 MHzやV30 10 MHzの16ビットでMS-DOSで動いていました.XYプロッターに出力するプログラムを書いた記憶があります.

7セグメント表示器

デジタル基礎の講義で7セグメント表示器の任意のセグメントを光らせる組み合わせ回路を設計する問題でした.Don’t careがあるカルノーマップの問題です.7セグメント表示器では,10〜15はdont’ careになります.

 

丁度,ネットで
1=2, 2=5, 3=5, 4=4…
という問題がアナログな頭では解けないというのを見かけたところでした.7セグメント表示の文字はやはりデジタルの代名詞なのかと思ったところです.