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卒業研究発表会

2月2日(土)と2月4日(月)に卒業研究発表会が開催されました.物理情報工学科では,研究の概要を発表する5分の口頭発表(質疑応答なし)と,ディスカッションを行うポスター発表の両方を行います.1期生のときからこの方式です.ディスカッションの時間を十分にとるためにポスター発表を,また4年生で卒業して社会に出る学生のことを考えれば口頭発表の経験を積むことも必要であるとの考えによります.

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ssh

3日位前から急に海外からsshで不正にログインしようする攻撃が増えてきました.一日あたり3万から4万件です.日本人の名前のように読めるものもありますし,外国人の名前のように読めるものもあります.またシステムのサービス名もあります.以前は大学の入り口で,sshを短時間に連続して接続してくるものを弾いていたのですが,ポリシーが変わったのかも.

話は変わって,SMTP認証.2007年12月にサポートが終わったEudoraでSMTP認証を使えるようにするためには,サーバ側の調整がいろいろ必要なようでした.具体的なことはセキュリティに関わるので書けませんが,手元に記録を残しました.

pleiadesプレアデス星団(すばる)

2次遅れ系の標準形の共振周波数

2次遅れ系の標準形
\displaystyle\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

の共振周波数は,バネ・マス・ダッシュポットで構成される機械系の2次遅れ系の共振周波数と同様に求めることができます.LCR直列共振回路では,伝達関数の分子にsがありますが,機械系にはsがなく分子は定数です.

形式的にs=j\omegaとして
\displaystyle g(\omega)=\left|\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2-\omega^2+j2\zeta\omega_n\omega}\right|

になります.
\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=0

を解くと
\displaystyle\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}

になります.

電気系の共振周波数

図のLCR直列共振回路では,電圧v(t)を加えるときに流れる電流i(t)は,
\displaystyle L\frac{i(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt=v(t)

です.ラプラス変換して伝達関数G(s)=I(s)/V(s)を求めると
\displaystyle G(s)=\frac{s}{Ls^2+Rs+1/C}

になります.

lcr

形式的にs=j\omegaとおき,|G(j\omega)|=g(\omega)とおくと
\displaystyle g(\omega)=\omega\left(\left(\frac{1}{c}-\omega^2L\right)^2+\omega^2R^2\right)^{-1/2}

になります.

\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=0として,極大値を求めると
\displaystyle\omega_r=\frac{1}{\sqrt{LC}}になります(共振周波数は\displaystyle f_r=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}).つまり,抵抗に依存しません.

計算で求めると煩雑ですが,LCR直列共振回路では複素平面でインピーダンスを表せば,Lのインピーダンスj\omega LとCのインピーダンス\displaystyle\frac{1}{j\omega C}の大きさが等しいときが共振の条件ですから容易に共振周波数を求められます.

一方,電圧源を短絡して電流の初期値のみを与えるとき,不足減衰であればその振動の角周波数は伝達関数の極の虚部から
\displaystyle\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}

になります.

電気系では,「駆動力」である電圧と,「流れ」である電流に興味があります.力学系では「流れ」である速度ではなくその積分である変位で共振周波数を求めていることに注意が必要です.

機械系の共振周波数

外部から力を加えて強制的に振動させると,外部から加える力の周波数が共振周波数のときに振幅が最大になります.

mechanical

バネ・マス・ダッシュポットで構成される機械系の2次遅れ系に外力f(t)を加えるときの変位x(t)に関する微分方程式は
\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}+d\frac{dx}{dt}+kx=f(t)

になります.

ラプラス変換して伝達関数G(s)=X(s)/F(s)を求めると
\displaystyle \frac{1}{ms^2+ds+k}

になります.共振周波数はゲインが最大になる周波数ですから,形式的にs=j\omegaとして,
\displaystyle |G(j\omega)|=\left|\frac{1}{-m\omega^2+j\omega ds + k}\right|

になります.これをg(\omega)とおくと
g(\omega)=((k-m\omega^2)^2+d^2\omega^2)^{-1/2}

になります.

これが極大になる点を探せばよいので
\displaystyle\frac{dg(\omega)}{d\omega}=-\frac{1}{2}((k-m\omega^2)^2+d^2\omega^2)^{-3/2}(2(k-m\omega^2)(-2m\omega)+2d^2\omega)=0

となり,これを解くと
\displaystyle\omega_r=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{d^2}{2m^2}}

になります(共振周波数f_r=\omega_r/2\pi).

一方,零ではない初期値のみを与えて外力を加えない場合,不足減衰のときの振動の周波数(減衰固有周波数)は,伝達関数の極の虚部から
\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{d^2}{4m^2}}

になります.

機械系では,「駆動力」は外部から加えられる力で,「流れ」に対応するものは速度になります.しかし,興味があるのは変位ですから,「流れ」に対応する物理量を時間に関して積分した物理量になります.

非減衰固有周波数と減衰固有周波数

2次遅れ系の伝達関数の標準形は
\displaystyle\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2}

です.とくに断ることなく固有周波数というときには\omega_n/2\piのことを指します.減衰比\zetaが零のときの固有周波数を明示的に区別して呼ぶときには,非減衰固有周波数あるいは不減衰固有周波数と呼びます.英語ではundamped natural frequecyです.また\zetaが零ではないときの自由振動の周波数は,減衰固有周波数と呼ばれます.減衰固有周波数は,伝達関数の極から\displaystyle\frac{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}{2\pi}になります.

昨日,1月14日,6年ぶりの大雪に見舞われました.15日の朝,キャンパスには雪が残っていました.歩行者の通路を確保するために朝から職員さんが除雪されていました.

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講義開始

この年末年始は曜日配置や工事の関係からか,12/28-1/6が休みでした.今日から講義開始です.クォータ制を導入していると,期末試験の問題提出の期限の時点では,偶数クォータの講義では全講義回数の半分強が終わった程度ですから,試験問題を作り難いです.講義計画どおりに進んだとしても,講義する前に作るのと講義した後に作るのでは,細かな点に差がでるように思います.それよりも,突発的な理由で計画通りに進まなかったときが怖いです.

単極性矩形波の周波数帯域

我々の研究室では,電気刺激にパルス幅0.5 msの単極性矩形波を用いています.これの周波数帯域は次のように計算できます.

パルス幅がTで振幅が1/Tの矩形波y(t)のラプラス変換Y(s)は,
\frac{1}{T}\left(\frac{1}{s}-\frac{e^{-Ts}}{s}\right)
になります.

形式的にs=j\omegaを代入して絶対値を求めると,
|Y(j\omega)|=|\frac{\sin^2(T\omega/2)}{T\omega/2}|
になります.つまりsinc関数の絶対値です.

この関数はTが0.5 msのときに,

Graph1

になります.-3 dBの帯域で886 Hz位になります.

筋音の周波数帯域は,加速度では100 Hz以下(変位ではさらに低い)ですから,0.5 msの単極性矩形波は十分フラットな周波数特性を有しています(100 Hzのゲインは0.996).

工学的な説明は上記のとおりですが,電気生理学的には活動電位を1つ発生させればよく,活動電位の持続時間は数ミリ秒ですから,上記より帯域は狭くなるでしょうが,機械的性質を計測する上では問題にはならないと考えられます.活動電位で筋のモデルの力発生要素(f_1(t))がインパルス的に収縮力を発揮することを仮定しています.

fig3