特性方程式と重根 – Uchiyama Lab.

今日の講義で微分方程式の特性根と一般解の話をしたら，重根をもつ場合について，高校で習う隣接3項漸化式で重根を持つ場合の解き方と同じ考え方で微分方程式も説明できることが分かったと講義の後で教えてくれました．以下にまとめてみます．

隣接3項漸化式で特性方程式が重根をもつ場合

$y(k+2)=2ay(k+1)-a^2y(k)$
を変形して，差が等比数列の形になるようにする．

$y(k+2)-ay(k+1)=a(y(k+1)-ay(k))$

右辺は
$a^{k+1}(y(1)-ay(0))$
となる．

両辺を $a^{k+1}$ で割る．

$\displaystyle\frac{y(k+2)}{a^{k+1}}-\frac{y(k+1)}{a^k}=y(1)-ay(0)$
となり， $\displaystyle\frac{y(k+1)}{a^k}$ は，初項 $y(0)/a^{-1}$ ，公差 $y(1)-ay(0)$ の等差数列になる．

したがって
$\displaystyle\frac{y(k)}{a^{k-1}}=\frac{y(0)}{a^{-1}} + (k-1)(y(1)-ay(0))$
となる．

両辺を $a^{k-1}$ 倍して
$y(k)=a^ky(0)+a^{k-1}(k-1)(y(1)-ay(0))$
になる．

隣接3項漸化式では， $y(k)$ を求めることになるが，線形差分方程式とみた場合には，基底に $a^k$ と $ka^k$ を用いればよいことが分かる．

微分方程式

微分方程式の特性根が重根の場合，
$\displaystyle\frac{d^2y(t)}{dt^2} -2a\frac{dy(t)}{dt} + a^2y(t)=0$
を変形して
$\displaystyle\frac{d^2y(t)}{dt^2} - a\frac{dy(t)}{dt} = a\left(\frac{dy(t)}{dt} - ay(t)\right)$
となる．
これは，
$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{dy(t)}{dt}-ay(t)\right)= a\left(\frac{dy(t)}{dt} - ay(t)\right)$
なので，
$\displaystyle\frac{dy(t)}{dt}-ay(t) = e^{at}\left(\frac{dy(0)}{dt} - ay(0)\right)$
になる．
$e^{at}$ で両辺を割ると，
$e^{-at}\displaystyle\frac{dy(t)}{dt}-ae^{-at}y(t) = \frac{dy(0)}{dt} -ay(0)$
なので，左辺を次のように書き換えて
$\displaystyle\frac{d}{dt}\left(e^{at}y(t)\right) = \frac{dy(0)}{dt} -ay(0)$
になる．
積分して，
$e^{-at}y(t) = \left(\displaystyle\frac{dy(0)}{dt} -ay(0)\right)t + c$
になり（ $c$ は積分定数），
$y(t)=\left(\displaystyle\frac{dy(0)}{dt} -ay(0)\right)te^{at} + ce^{at}$
になる，
つまり，基底は $e^{at}$ と $te^{at}$ になる．