木星を観測しやすい季節になりました.また,月末には火星が接近します.口径80 mmの屈折式望遠鏡にカメラを取り付けてリレーレンズ方式で撮影しました.
月: 2016年5月
バイオメカニズム学会誌特集
バイオメカニズム学会誌の特集「柔軟物の硬さ」を担当しました.Vol. 40, No. 2として5月1日に発行されました.特集では,
- 内山,永岡:押し込み型の硬度計,バイオメカニズム学会誌,Vol. 40, No. 2, pp. 97-102, (2016)
を寄稿しました.押し込み型の硬度計の計測原理と,ウレタンフォームなど様々な柔軟物を市販の硬度計で計測したときの指示値間の関係について解説しました.用いた硬度計は,アスカーゴム硬度計E型(高分子計器株式会社),PEK-1(株式会社井元製作所),TDM-Z1(有限会社トライオール),FGRT-5(日本電算シンポ株式会社),TK-03C(株式会社特殊計測)の5機種です.
餌と捕食者の関係
物理情報数学Bで,行列の累乗の応用例として,餌と捕食者の関係を表す行列差分方程式を説明しています.
「第年のイワシの数を,クジラの数をとする.クジラがいないときの1年後のイワシの数をとする.つまり,第年のイワシの数に比例して変化する.クジラに1年間に食べられるイワシの数をとする.つまり,クジラの数に比例するイワシが食べられる.イワシがいないときの1年後のクジラの数をとする.また,イワシを食べて1年間に増加するクジラの数をとする.」
上記の関係を行列差分方程式で表すと
になります.一般解は
になります.
この行列差分方程式を講義では手計算で解けるように,,,,として解きます.しかし,この行列の固有値は1以上の実数が2つですので,餌と捕食者の数の変化に期待される振動的な振る舞いにはなりません.初期値のクジラの数が多いと,下図のようにイワシの数は減少に転じます.
餌と捕食者の関係のモデルとしては,ロトカ・ボルテラのモデルが知られています.このモデルでは,
で表されます.非線形微分方程式ですから,とを解析的に求めることはできません.適当な値を代入して数値解を求めると,とが振動的な振る舞いをすることがわかります.
また,平衡点はとから,原点と,にあります.平衡点近傍では,の項が小さいので無視できると仮定すると,の平衡点近傍では,
となり,行列の固有値は実数で1つは正でもう1つは負です.したがって,は鞍点です.
また,もう1つの平衡点の近傍では,を,をとおいて,の項が小さいので無視できると仮定すると
と表されます.したがって,固有値が純虚数となり,振動する解になります.
,,,とし,と で数値解を求めると下図のようになります.上のパネルはとの時間発展です. 下のパネルはとの関係です.
初期値を平衡点((100, 100))に近い点(99, 99)とすると下図のように円に近い軌道を描きます.
MATLABのコードです.
- lv.m
tspan = [0:0.001:5]; [t y] = ode45(@LotkaVolterra,tspan, [99 99]); figure(1); plot(t, y(:,1), 'b', t, y(:,2), 'r'); figure(2); plot(y(:,1), y(:,2));
- LotkaVolterra.m
function dx = LotkaVolterra(t, x) alpha = 10; beta = 0.1; gamma = 10; delta = 0.1; dx = zeros(2,1); dx(1) = alpha * x(1) - beta * x(1) * x(2); dx(2) = delta * x(1) * x(2) - gamma * x(2); end